\begin{exercises}

\exercise 以不同的速率同时向不同方向抛出两物体。证明在运动的
时候，若不计空气阻力，它们的相对速度固定不变。

\exercise 有一水平飞行的飞机，速度为$ v _ { 0 }$，在飞机上安置一门炮，炮弹以水平速度$ v $向前射击。略去空气阻力，求

(1) 以地球为参考系时炮弹的轨迹

(2) 以飞机为参考系时炮弹的轨迹

(3) 以炮弹为参考系时飞机的轨迹

\exercise 一辆汽车尾部敞开，顶篷只盖到$A$处(图\ref{fig:02.17})，乘客可坐
\begin{wrapfigure}[7]{r}{13em}
  \includegraphics{figure/fig02.17}
  \caption{}
  \label{fig:02.17}
\end{wrapfigure}
到车尾$B$处，$AB$联线与铅直方向
成$ \varphi = 3 0 ^ { \circ } $角。汽车在平直公路上
冒雨行驶，当其速率为6公里/时
时，$C$点刚好不被雨打着若它
的速率为18公里/时，则$B$点就
刚好不被雨点打着。求雨点的速
度$ \vec{v} $。

\exercise 以速率$ v _ { 1 } $运动的列车上的驾驶员，发现在前面与该车相距
$d$处，有一列车在同一轨道上沿相同方向、以较小的速率$v_2$在运
动，他立刻用制动器刹车，使他的火车以匀减速$a$慢下来，试证
明：

(1) 如果$d > \dfrac { \left( v _ { 1 } - v _ { 2 } \right) ^ { 2 } } { 2 a }$
则两车不会相撞；

(2) 如果$d < \dfrac { \left( v _ { 1 } - v _ { 2 } \right) ^ { 2 } } { 2 a }$
，则两车将要相撞。
% 086.jpg

\clearpage
\exercise 渔人在河中乘舟逆流航行，经过某桥下时，一只水桶落入
水中，半小时后他才发觉，即回头追赶，在桥的下游5.0公里处赶
上。设渔人顺流及逆流相对水的划行速率不变，求水流速率。

\exercise 甲乙两列火车在相邻的轨道上相向运行，甲的速率为$v_1$，
乙的速率为$v_2$。从甲车上水平地投一物到乙车上。设投掷速率为
$v _ { 0 }$ ( $v_0 $在物体运动的全部时间内可认为是不变的)，从甲车上看，投
掷方向与列车行驶方向垂直，试求：

(1)物体的轨迹在路基上的投影与铁轨所成的角$ \varphi _1 $；

(2)物体的轨迹在乙车上的投影与乙车边缘所成的角$ \varphi _2 $；

(3)物体相对于路基的速度$ v' $和相对于乙车的速度$ v'' $。

\exercise 飞机罗盘指示飞机正在朝东飞行，地面情报指出，
此时刮着正南风。如果风速$ | \vec{u} | = 4 0 . 0 $公里/时，飞机相对空气的
速度为$ | \vec{v} ' | = 2 0 0 $公里/时，试用矢量图表明：飞机相对于地面的
速度$\vec{v}$；驾驶员应怎样驾驶才使其前进方向相对于地面是朝向正
东？

\exercise 一架飞机以相对于空气的匀速率$u$作水平直线飞行，从$A$飞
到$B$再返回，从$A$到$B$的距离是$L$。如果速率为$v$的风向有下列三
种情况(都有$ u > v$) ：

(1)沿着从$A$到$B$的直线

(2)垂直于从$A$到$B$的直线

(3)与$A$到$B$的直线成角。\\
试求往返一次所需要的时间。并证明，由于风的存在，往返时间
总是比无风的情况长。

\exercise 一升降机以$ a = 2 g $的加速度从静止开始上升，在2.0秒末时
有一小钉从顶板下落，若升降机顶板到底板的距离$ k = 2 . 0 $米，求
钉子从顶板落到底板的时间$t$，它与参考系的选取有无关系？

\exercise 一飞机在海上布雷，当它在水面上高为$h$的地方以速率$v$
沿水平方向飞行时，要想使鱼雷入水时，鱼雷不与水面发生拍击，
即相对于鱼来说，水的速度完全沿鱼雷的轴线方向(图\ref{fig:02.18})。
% 087.jpg
\begin{wrapfigure}[8]{r}{15em}
  \includegraphics{figure/fig02.18}
  \caption{}
  \label{fig:02.18}
\end{wrapfigure}
设鱼雷从投下到入水，它的轴线与水平面的
夹角不变。略去空气阻力，求当飞机投射鱼雷时，$\theta$应
当等于多少？

\exercise 设某一超新星到地
球的距离$ L \geqslant 1 0 ^ { 6 } $光年，若爆发是匀速球状膨胀，膨胀速率$|\vec{v}|$约为$5 \times 1 0 ^ { - 3 } $光年/年。如果光速与光源速度有关，爆发后，在地球上
有多长时间间隔都能观测到它的最大光度？

\exercise 在某一参考系$K$看来，物体$A$以匀速率$v_A$沿$x$轴正向运动，
物体$B$以匀速率$v_B$沿$x$轴的负方向运动。试问：

(1) 在参考系$K$看来，\!$A$与$B$之间相对运动的速度$v_{A\!B}$是多大？

(2) $c$为真空中的光速，当$ v _ { A }$=0.8$ c $，\!$ v _ { B }$=0.6$ c $\,时，\!$v_{A\!B}$是多少？

(3) 在同一参考系$K$中看来，两个物体$A$与$B$之间相对运动的
速度$ v _ { A B } > c $，是否违反狭义相对论？为什么？

(4) 在$A$看来(即在随$A$一起运动的坐标系$K'$里看)，$B$的速
度$ v _ B ' $仍旧是$v_{AB}$吗？

\exercise~ $K$和$K'$是两个相互平行的系，$K'$相对于$K$沿$x$轴以的$\dfrac { 1 } { 2 } c $速率运动。问：

(1) 在$K$系中静止放置一把尺子，长为$l$，在$K'$系来测量，尺
子的长度是多少？

(2) 在$K$系中某点$A$发生一事件，时间间隔为$\Delta t$，在$K'$系来
看，这事件的时间间隔是多少？

\exercise 在实验室中观测到一个运动着的$\mu$子在实验室坐标系中
的寿命等于静止$\mu$子寿命的50倍，求$\mu$子相对于实验室坐标系
运动
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的速度$v$。

\clearpage
\exercise 爱因斯坦在他的创立狭义相对论的论文中说：“一只在
地球赤道上的钟，比放在两极的一只在性能上完全一样的钟，在
别的条件都相同的情况下，要走得慢些。”根据各种观测，地球
从形成到现在约为50亿年。假定地球形成时，就有爱因斯坦所说
的那两只钟，问：现在它们所指示的时间相差多少？已知地球半
径为6378公里。

\exercise 按上题同样道理，在地球看来，一只在月球上的钟，要比
一个性质完全相同，所处条件也完全相同，放在地球上的钟走得
略为慢些。设地球年龄为$ \tau = 5 0 $亿年，月球绕地球转动的平均速率
为$ v = 1 . 0 2 \times 1 0 ^ { 5 } $厘米/秒。月球上的钟在50亿年里比地球上的钟慢了多少？

\exercise 类似15题，在太阳上的观测者将看到一只在地球上的钟，
要比一只性能完全相同、所处条件也完全相同放在太阳上的钟走
得略为慢些。设太阳年龄为$ \tau = 5 0 $亿年，已知地球公转的平均速率
为$ v = 2 9 . 7 6 $公里/秒。地球上的钟在50亿年里比太阳上的钟慢了
多少？

\exercise 一个“光钟”由两个相距为$ L _ { 0 } $的平面镜$A$和$B$组成。对于
这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面
$A$到镜面$B$再回到原处的时间，其值是$ t _ { 0 } = 2 L _ { 0 } /c$。若将这个光钟横
放在一个以速度$\vec{v}$行驶的火车上，使两镜面都与$\vec{v}$垂直，而两镜
面中心联线则与$\vec{v}$平行。这时，若在铁轨参考系中看，火车上钟
的一个“滴答”$\tau$与$\tau _ 0$的关系怎样？

\exercise ~ $\mu$子是不稳定的粒子，它自发地衰变为
\begin{equation*}
  \mu ^ \pm \longrightarrow e ^ \pm + \overline{\nu} _ { e } + \nu _ { \mu }
\end{equation*}
其中$\mu ^ \pm$分别表示带正电或带负电的$\mu$子，$\overline{\nu} _ { e }$表示反中微子，
$\nu _ { \mu}$表示$\mu$中微子。上述自发衰变的寿命是
$ \tau _ { 0 }$=2.2$\times$10$^{-6}$秒，这是对$\mu$子静
止的坐标系而言的。若$\mu$子的速度$ v$=0.995$c$，它的寿命将为多少？
\end{exercises}
